1.
i
Найдите периметр правильного шестиугольника, меньшая диагональ которого равна 
РЕШУ ЦТ — математика ЦЭ
Вариант № 171
раз больше его стороны. Поэтому сторона равна 10, периметр — 60.2.
i
Внутренний угол правильного многоугольника равен 135°. Выберите все верные утверждения для данного многоугольника.
1. Многоугольник является восьмиугольником.
2. В многоугольнике 40 диагоналей.
3. Если сторона многоугольника равна 2, то радиус вписанной окружности равен 
4. Площадь многоугольника со стороной a можно вычислить по формуле 
Ответ запишите в виде последовательности цифр в порядке возрастания. Например: 123.
Тогда 
При n = 8, получаем, что диагоналей 20. Второе утверждение неверно.
3.
i
Если вписанный угол KML изображенный на рисунке, равен 38°, то вписанный угол KNL равен:
1) 46°
2) 38°
3) 19°
4) 52°
5) 76°
4.
i
Длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями уравнения x2 − 5x + 2 = 0. Найдите площадь треугольника.
1) 2,5
2) 3,5
3) 5
4) 1
5) 2
5.
i
На рисунке изображены две окружности с центрами в точках A и B. Если MK = 48, то сумма радиусов этих двух окружностей равна:
1) 32
2) 16
3) 18
4) 36
5) 42
6.
i
Прямая, проходящая через вершину К треугольника KMN, делит его медиану MA в отношении 8 : 3, считая от вершины M, и пересекает сторону MN в точке B. Найдите площадь треугольника KMN, если площадь треугольника KMB равна 16.
По теореме о пропорциональных отрезках получаем, что 
7.
i
Из точки А проведены к окружности радиусом 
касательная AB (B — точка касания) и секущая, проходящая через центр окружности и пересекающая ее в точках D и C (AD < AC). Найдите площадь S треугольника ABC, если длина отрезка AC в 3 раза больше длины отрезка касательной. В ответ запишите значение выражения 5S.
Обозначим AB за x, тогда 
Тогда: 
при этом 
Получим: 
Тогда площадь треугольника ABC: 
8.
i
ABCD — прямоугольник. Точка N — середина стороны ВС. Отрезок DN пересекает диагональ АС в точке О (см. рис.). Найдите площадь четырехугольника ONBA, если площадь прямоугольника ABCD равна 492.
Треугольники ONC и AOD подобны по двум углам. Тогда 
отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому 
Отношение 
тогда 
то 
9.
i
В прямоугольнике ABCD выбраны точки L на стороне BC и M на стороне AD так, что ALCM — ромб. Найдите площадь этого ромба, если AB = 3, BC = 9.
— длина отрезка BL. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABL. По теореме Пифагора: 
10.
i
Диагонали трапеции равны 15 и 20. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 12,5.
где p — полупериметр треугольника ACM, который равен: 
11.
i
Площадь прямоугольника ABCD равна 20. Точки M, N, P, Q — середины его сторон. Найдите площадь четырехугольника между прямыми AN, BP, CQ, DM.
Поскольку 
(NY — средняя линия), поэтому 
тогда 
12.
i
Прямая a, параллельная плоскости α, находится от нее на расстоянии 6. Через прямую a проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b и образующая с ней угол 60°. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если A и B — такие точки прямой a, что AB = 4, а C и D — такие точки прямой b, что CD = 3.
1) 42
2) 
3) 
4) 10,5
5) 
поскольку 
Проведем из точки D высоту трапеции DN. Получили прямоугольный треугольник, в котором 
13.
i
В треугольнике ABC 
Найдите длину стороны CB.
1) 2
2) 3
3) 
4) 
5) 
Из теоремы Пифагора:
Подставим одно выражение в другое и решим уравнение: 
14.
i
АС — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ABC и ADC. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите квадрат длины отрезка BD, если 
AD = DC.
15.
i
Дан треугольник ABC, в котором AC = 32. Используя данные рисунка, найдите длину стороны AB треугольника ABC.
1) 10,2
2) 14,6
3) 13,8
4) 13,5
5) 10,4
16.
i
Точка A движется по периметру треугольника KMP. Точки K1, M1, P1 лежат на медианах треугольника KMP и делят их в отношении 11 : 3, считая от вершин. По периметру треугольника K1M1P1 движется точка B со скоростью, в пять раз большей, чем скорость точки A. Сколько раз точка B обойдет по периметру треугольник K1M1P1 за то время, за которое точка A два раза обойдет по периметру треугольник KMP?
и 
и треугольники M1K1P1 и MKP подобны, получаем 
Тогда 
Тогда точка B обойдет периметр 56 раз.17.
i
В тупоугольном треугольнике АВС (∠С > 90°) ВС = 4 и длины двух других сторон являются целыми числами. Периметр треугольника АВС равен 13. Для начала каждого из предложений A−В подберите его окончание 1−6 так, чтобы получилось верное утверждение.
НАЧАЛО ПРЕДЛОЖЕНИЯ
A) Длина стороны АВ треугольника АВС равна ...
Б) Косинус угла ВАС треугольника АВС равен ...
B) Площадь треугольника АВС равна ...
ОКОНЧАНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
1) 
2) 6
3) 5
4) 
5) 
6) 
Ответ запишите в виде сочетания букв и цифр, соблюдая алфавитную последовательность букв левого столбца. Помните, что некоторые данные правого столбца могут использоваться несколько раз или не использоваться вообще. Например: А1Б1В4.
откуда 
Разберем случаи.
но тогда 
тогда
то 
и 
18.
i
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BE и CD. Найдите длину CB, если 
и радиус окружности, описанной вокруг AED равен 10.
Из соотношения 
из основного тригонометрического тождества.
19.
i
Прямая a пересекает плоскость α в точке A и образует с плоскостью угол 60°. Точка B лежит на прямой a, причем AB = 
Найдите расстояние от точки B до плоскости α.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
20.
i
Определите остроугольный треугольник, зная длины его сторон (см. табл.)
| Треугольник | Длины сторон треугольника |
|---|---|
| ΔABC | 8 см; 15 см; 17 см |
| ΔMNK | 4 см; 5 см; 8 см |
| ΔBDC | 3 см; 4 см; 5 см |
| ΔFBC | 7 см; 8 см; 9 см |
| ΔCDE | 5 см; 11 см; 13 см |
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
значит, треугольник прямоугольный.
значит, треугольник тупоугольный.
значит, треугольник прямоугольный.
значит, треугольник остроугольный.
значит, треугольник тупоугольный.21.
i
На рисунке изображен треугольник ABC, в котором ∠ACB = 38°, ∠AMN = 109°. Используя данные рисунка, найдите градусную меру угла BAC.
1) 33°
2) 52°
3) 26°
4) 30°
5) 60°
22.
i
На рисунке a || b, 
Найдите градусную меру угла 4.
1) 34°
2) 68°
3) 22°
4) 56°
5) 35°
Значит, 
Тогда и 
23.
i
Прямые a и b, пересекаясь, образуют четыре угла. Известно, что сумма трех углов равна 210°. Найдите градусную меру меньшего угла.
1) 150°
2) 15°
3) 30°
4) 10°
5) 105°
равна 360°, поэтому четвертый угол равен 150°. Углы 1 и 3, 2 и 4 — вертикальные, следовательно, они равны. Смежные углы в сумме 180°, следовательно, меньший угол равен 30°.24.
i
На рисунке две прямые пересекаются в точке О. Если
то угол BOC равен:
1) 120°
2) 80°
3) 60°
4) 20°
5) 40°
равна 360°, поэтому 
равен 60°. Углы 
и 
и 
— вертикальные, следовательно, 
25.
i
Из точки A к окружности с центром O проведены две касательные AB и AC, где B и C — точки касания. Через точки C и O проведена прямая, которая пересекает касательную AB в точке M (см. рис.). Найдите градусную меру угла 1, если ∠AMC = 44°.
1) 30°
2) 46°
3) 22°
4) 44°
5) 23°
26.
i
Градусная мера угла ABC равна 126°. Внутри угла ABC проведен луч BD, который делит данный угол в отношении 1 : 6 (см. рис.). Найдите градусную меру угла 1, если BO — биссектриса угла DBC.
27.
i
Градусная мера угла ABC равна 112°. Внутри угла ABC проведен луч BD, который делит данный угол в отношении 1 : 7 (cм. рис.). Найдите градусную меру угла 1, если BO — биссектриса угла DBC.
28.
i
В равнобедренную трапецию, площадь которой равна 
вписана окружность. Сумма двух углов трапеции равна 60°. Найдите периметр трапеции.
Сумма углов в равнобедренной трапеции, прилежащих к одной стороне равна 180°, откуда следует, что сумма углов, данная в условии — есть сумма углов при основании AD, которые равны. 
Поэтому из площади трапеции найдем x:
29.
i
Четырехугольник MNPK, в котором ∠N = 128°, вписан в окружность. Найдите градусную меру угла K.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
30.
i
Дан параллелограмм ABCD, 
Отрезок DK пересекает сторону АВ в
тогда 
и 
поэтому 
поэтому 
